- $UI$(全称量词消去规则)：$\forall xA(x)\Rightarrow A(x)$
- $EI$(存在量词消去规则)：$\exists xA(x)\Rightarrow A(c)$
- $UG$(全称量词引入规则)：$A(y)\Rightarrow \forall x A(x)$, $y$ 为任意值， $A(y)$ 为真
- $EG$(存在量词引入规则)：$A(c)\Rightarrow \exists xA(x)$
例1： 构造下列推理的证明
<1> 前提：$\forall x(F(x)\rightarrow G(x)),\forall xF(x)$
结论：$\forall xG(x)$
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | $\forall x(F(x)\rightarrow G(x))$ | 前提引入 |
| 2 | $F(c)\rightarrow G(c)$ | 1，$UI$ |
| 3 | $\forall xF(x)$ | 前提引入 |
| 4 | $F(c)$ | 3，$UI$ |
| 5 | $G(c)$ | 2，4，假言推理 |
| 6 | $\forall xG(x)$ | 5，$UG$ |
<2> 用归谬法(反证法)证明下列推理
前提：$\forall x(F(x)\vee G(x)),\neg \exists xG(x)$
结论：$\exists xF(x)$
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | $\neg \exists xF(x)$ | 附加前提引入，假设结论不成立 |
| 2 | $\forall x\neg F(x)$ | 1，量词否定转换 |
| 3 | $\neg F(c)$ | 2，$UI$ |
| 4 | $\neg \exists xG(x)$ | 前提引入 |
| 5 | $\forall x\neg G(x)$ | 4，量词否定转换 |
| 6 | $\neg G(c)$ | 5，$UI$ |
| 7 | $\forall x(F(x)\vee G(x))$ | 前提引入 |
| 8 | $F(c)\vee G(c)$ | 7，$UI$ |
| 9 | $F(c)$ | 6，8，析取三段论 |
| 10 | $\neg F(c)\wedge F(c)$ | 3，9 ，合取(出现矛盾，假设不成立❌) |
例2： ⭐️证明下述论断的正确性
- 所有哺乳动物都是脊椎动物
- 并非所有哺乳动物都是胎生动物
- 故有些脊椎动物不是胎生动物
$proof:$
命题符号化：
- $p(x)$: $x$ 是哺乳动物
- $q(x)$: $x$ 是脊椎动物
- $r(x)$: $x$ 是胎生动物
前提：$\forall x(p(x)\rightarrow q(x)),\neg \forall x(p(x)\rightarrow r(x))$
结论：$\exists x(q(x)\wedge \neg r(x))$
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | $\neg \forall x(p(x)\rightarrow r(x))$ | 前提引入 |
| 2 | $\exists x\neg (p(x)\rightarrow r(x))$ | 1，量词否定转换 |
| 3 | $\neg (p(c)\rightarrow r(c))$ | 2，$EI$存在量词消去 |
| 4 | $\neg(\neg p(c)\vee r(c))$ | 3，置换规则（等值演算） |
| 5 | $p(c)\wedge \neg r(c)$ | 4，置换规则 |
| 6 | $\neg r(c)$ | 5，化简律 |
| 7 | $\forall x(p(x)\rightarrow q(x))$ | 前提引入 |
| 8 | $p(c)\rightarrow q(c)$ | 7，$UI$ |
| 9 | $p(c)$ | 5，化简律 |
| 10 | $q(c)$ | 8，9 ，假言推理 |
| 11 | $q(c)\wedge \neg r(c)$ | 6，10 ，合取 |
| 12 | $\exists x(q(x)\wedge \neg r(x))$✔️ | 11，$EG$存在量词引入 |