推理
$def:$ 设 $A$ 和 $B$ 是两个命题公式，当且仅当 $A\rightarrow B$ 是 重言式 时称由 $A$ 可推出 $B$ ,或 $B$ 是前提 $A$ 的结论，记为：$A\Rightarrow B$,读作如果 $A$ 为真那么 $B$ 为真。
推理方法
证明前提 $A$ 推出结论 $B$ 的方法有三种：
- 真值表法
- 等值演算法(利用等值式)
- 在自然推理系统 $P$ 中用推理规则证明（重点）
推理规则：
以下规则虚熟记于心,下述逗号可以理解成 并且
化简律：$p\wedge q\Rightarrow p, p\wedge q\Rightarrow q$；
附加律：$p\Rightarrow p\vee q,q\Rightarrow p\vee q$
- 假言推理：$p, p\rightarrow q \Rightarrow q$
- 拒取式：$p\rightarrow q,\neg q\Rightarrow \neg p$
- 析取三段论：$p\vee q,\neg p\Rightarrow q$
- 合取式：$p,q\Rightarrow p\wedge q$
- 假言三段论：$p\rightarrow q,q\rightarrow r\Rightarrow p\rightarrow r$ (传递性)
- 等价三段论：$p\leftrightarrow q,q\leftrightarrow r\Rightarrow p\leftrightarrow r$(传递性)
- 构造性二难：$p\rightarrow q,r\rightarrow s,p\vee r \Rightarrow q\vee s$
- 归结式：$p\vee q,\neg p\vee s \Rightarrow q\vee s$
推理证明的一般步骤：
例1：证明下述式子：
$proof:$ 下表置换规则值得就是利用等值式进行等值演算得到的结论
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | $p\vee q$ | 前提引入 |
| 2 | $\neg p\rightarrow q$ | 1，置换规则 |
| 3 | $q\rightarrow s$ | 前提引入 |
| 4 | $\neg p\rightarrow s$ | 2,3，假言三段论 |
| 5 | $\neg s\rightarrow p$ | 4，置换规则 |
| 6 | $p\leftrightarrow r$ | 前提引入 |
| 7 | $(p\rightarrow r)\wedge(r\rightarrow p)$ | 6，置换规则 |
| 8 | $p\rightarrow r$ | 7，化简律 |
| 9 | $\neg s\rightarrow r$ | 5,8，假言三段论 |
| 10 | $\color{green}{s\vee r}$ | 9，置换规则 |
例2： 给出下述推论的形式化证明
- 若马会飞或羊吃草，则母鸡就会变飞鸟；
- 如果母鸡变飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；
- 烤熟的鸭子不会跑，所以羊儿不吃草。
$proof:$
命题符号化：找到原子命题
令：
- $p$：马会飞
- $q$：羊吃草
- $r$：母鸡变飞鸟
- $s$：烤熟的鸭子还会跑
故上述命题符号化为：
前提：$(p\vee q)\rightarrow r,r\rightarrow s,\neg s$
结论：$\neg q$
一般证明法：
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | $\neg s$ | 前提引入 |
| 2 | $r\rightarrow s$ | 前提引入 |
| 3 | $\neg r$ | 1,2 拒取式 |
| 4 | $p\vee q\rightarrow r$ | 前提引入 |
| 5 | $\neg(p\vee q)$ | 3,4 拒取式 |
| 6 | $\neg p\wedge \neg q$ | 5，置换规则 |
| 7 | $\neg q$ ✅ | 6，化简律 |
⚡️用归谬法(反证法)证明：
🔅思想：将结论否定，在由此推出矛盾
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | $\neg\neg q$ | 附加前提引入，假设羊儿吃草 |
| 2 | $q$ | 1，置换规则 |
| 3 | $p\vee q$ | 2,附加律 |
| 4 | $p\vee q\rightarrow r$ | 前提引入 |
| 5 | $r$ | 3,4 假言推理 |
| 6 | $r\rightarrow s$ | 前提引入 |
| 7 | $s$ | 5，6 假言推理 |
| 8 | $\neg s$ | 前提引入 |
| 9 | $\color{red}{s \wedge \neg s}$ | 7,8 合取（❌出现矛盾，假设不成立） |
例3： 🌞用附加前提法证明下述命题：
- 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；
- 小赵不去看电影或小张不去看电影，小王去看电影；
- 所以当小赵去看电影时，小李也去看电影。
$proof:$
命题符号化：找到原子命题
令：
- $p$：小张去看电影
- $q$：小王去看电影
- $r$：小李去看电影
- $s$：小赵去看电影
前提：$p\wedge q\rightarrow r,\neg s\vee p,q$
结论：$s\rightarrow r$
⭐️附加前提法：
若结论为 $s\rightarrow r$ ,可以把 $s$ 放到前提中，推证 $r$ 成立即可。
| 步骤 | 公式 | 理由 |
|---|---|---|
| 1 | $s$ | 附加前提引入 |
| 2 | $\neg s \vee p$ | 前提引入 |
| 3 | $p$ | 1，2，析取三段论 |
| 4 | $q$ | 前提引入 |
| 5 | $p\wedge q$ | 3,4 合取 |
| 6 | $p\wedge q\rightarrow r$ | 前提引入 |
| 7 | $r$ | 5，6 假言推理 |